1901年春天，数学界濒临着罗素悖论的挑战，远大的数学家嗅觉到数学的基础正在他们眼下动摇。罗素悖论不仅对数学限度产生了深化的影响，而且引起了一场瓦解上的芜杂，时期长达十来年。罗素为此付出了非凡的努力，况且他很大一部分元气心灵齐花在打法远大同业的品评上了。
伯特兰・阿瑟・威廉・罗素时时被觉得是逻辑主义通顺的奠基者，领有许多拥护者，同期也引起了许多异议。逻辑主义者想阐明：统共的纯正数学齐是从纯正的逻辑前提得出来的，并只期骗不错用逻辑术语界说的办法。
逻辑主义似乎在作念两方面的努力。开端，声称统共的数学齐不错用逻辑术语来讲解。因此，数学术语和符号就组成了一个逻辑术语和符号的灵验子集。其次，声称统共的数学证明齐不错用逻辑证明来再行抒发。也便是说，数学定理不错组成逻辑定理的合理子集。
通过强调纯正数学是由逻辑的设施组成的，罗素说：“纯正数学完全是由断言组成的，粗野是如果某某命题在某种情况下为真，那么另一个某某命题在那种情况下也为真。”
罗素的不雅点招致了品评。其后罗素写说念：“在一驱动，这个论题是不受接待的，因为在传统上，逻辑是与玄学和亚里士多德筹谋在通盘的，是以数学家们觉得这跟他们不相关，那些觉得我方是逻辑学家的东说念主也极不肯意被条件掌持一门新的有极度难度的数学技能。”
朱尔斯・亨利・庞加莱
在远大的品评东说念主中，有一位才疏意广的法国数学家朱尔斯・亨利・庞加莱。克罗内克身后，庞加莱成为康托尔超限数学的主要反对者，而罗素的逻辑大厦主要就确立在康托尔蚁合论的基础上，庞加莱对罗素的气派就了然于目了，相互间是绝不原谅。
罗素
伯特兰・阿瑟・威廉・罗素1872年5月18日生于威尔士的特雷克。倒霉的罗素2岁失去母亲，4岁失去父亲，6岁失去祖父；因此主要由祖母带大。罗素一直在家收受家庭教师的汲引，直到18岁。
尽管祖母的品行好，但成年后，罗素感到很压抑。如他所说：“在我到14岁后，我祖母的常识局限让我很痛苦，她的清教徒说念德步履也驱动显得有些过分。”事实上，终其一世，罗素经常发现我方堕入千里着耐心与情感的冲破之中。
十几岁的罗素发达出了优异的才气，罗素在《自传》中写说念：“在11岁时，我的哥哥作念我的导师，驱动教我欧几里得几何。在我的一世中，这是一桩瑕玷事件，像初恋一样让我顺耳狂喜。我从来没猜想，宇宙上还有这样好意思好的东西。在学完第五命题后，哥哥告诉我时时东说念主们觉得它很难，但我发现根柢就不难。第一次我短暂明白我也许有些机灵。从那一刻起，直到38岁与怀特海相助完成《数学旨趣》，数学是我主要的酷好，亦然我主要的忻悦源泉。关联词像其他统共的忻悦一样，它不是纯正的。有东说念主告诉我欧几里得几何里的内容齐是依据于证明，但我失望地发现它是从公理动身的。在驱动的时候，如果哥哥不可给我证明晰这样作念的事理，我就拒却收受它们。但他说：‘如果你不收受它们，咱们没法续学习了。’我但愿不息学下去，于是我暂时不甘心地收受了它们。其时对那些数学前提的狐疑一直伴跟着我，决定了我其后所从事研究的地点。”
1890年，罗素进入剑桥大学三一学院学习数学和玄学。两年后，被邀加入一个东说念主数未几、东说念主员经过悉心挑选的“使徒社”，社团经常在大学里组织约聚。对罗素有着进犯影响的阿弗烈・诺斯・怀特海亦然社团成员之一。罗素自觉得在社团的行动是一世中在剑桥最大的忻悦，致使远比他的成就给他的忻悦多。
伯特兰・阿瑟・威廉・罗素
对于我方的早期发展，罗素写说念：“在上剑桥之前，我就照旧对玄学感酷好了，但除了密尔的书，我莫得读别的。为假设数学是对的找到一些事理，是我最大的欲望。密尔的《逻辑》在这个学科上的主张给我的印象是很不完全的……除了一堆诞妄，我的数学导师从未向我阐明假设微积分正确的事理……在第四学年，我读了大部分伟大哲字家的著述，也读了很大齐学玄学上的著述。詹姆斯・沃德一直齐给我这个学科最新的书看。每次我把它们还给他时，我齐说它们写得很糟糕。我明晰地牢记他的失望和他为了让我兴奋而去找书所付出的沉重努力。之后，我照旧成为剑桥的又名教员了，我从他那儿得到两本薄书，两本书他齐没读过，也不觉得有什么价值。它们是格奥尔格・康托尔的《蚁合论》和弗雷格的《办法翰墨》。最终，这两本书给了我想要的依据。”
很快，罗素对康托尔入了迷。在19世纪的终末几年，罗素每天走到岳父母在格罗斯菲那路的家去，在那儿花时期读格奥尔格・康托尔，并把重点抄到一个札记本里。
罗素在校的时候，剑桥进行了一场说念理深化的变革。管束层驱动觉得学术研究不仅是课后打法时期的业余爱好，更应该是教师使命的进犯组成部分。原创性的研究效果不错赢得丰厚的奖学金，在1895年，罗素因为对于几何基础的一篇论文得回奖学金，并发表于1897年。
在此次得胜之后，罗素驱动聚集多样不雅点，以对数学的基础作念一番概述的整理，并驱动想考：在少数几个基本逻辑办法的基础上创建数学是可能的。
逻辑主义
罗素不觉得，数理逻辑致使逻辑主义是短暂从我方的脑子里蹦出来的。其他数学家对数理逻辑和数学的基础的注目，开采了罗素。
弗里德里希・路德维希・戈特洛布・弗雷格
19世纪70年代末，德国逻辑学家、数学家、玄学家戈特洛布・弗雷格已发现大部分数学齐不错由很极少的逻辑述说推导出来，1884年发表《算术基础》，书中对算法公理化作了早期尝试。可惜在很猛进程上这本书被残暴了。
弗雷格信托，逻辑和数学的团结在表面上是可能的，于是他驱动遐想用来作为起源和基础的命题。到1902年，他照旧将我方的效果汇总起来，并发表了《算术基础》的第一卷。弗雷格正出书第二卷的时候，对他早期的《算术基本定律》印象极深的罗素意志到，我方的悖论在弗雷格的公理体系中产生了矛盾。罗素写信呈文弗雷格后，弗雷格极为恐慌。
对弗雷格来说，由于《算术基础》的第二卷照旧印好了，很难对其再作念出任何修改。因此，他加了一个附录作声明，声明开首是这样写的：“使命刚刚完成，其赖以维系的根基就垮掉了，对于一位科学家来说，莫得比这更纷扰的遇到了。当我的书接近出书的尾声时，伯特兰・罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。”
历史记录标明：在这以后，弗雷格变得相配衰颓，致使有了暗影，尽管主如若出于个东说念主致使是政事原因。直到晚年他才再次作念一些为东说念主称说念的使命，尽管不是这个限度了。1923年，弗雷格得出这样的论断：尝试把数学确立在逻辑的基础上是误入邪道。
具有朝笑意味的是，当1901年提议罗素悖论时，罗素已驱动接力于于逻辑主义上的《数学旨趣》。诚然弗雷格放手了从逻辑中确立数学的努力，但罗素决定不息下去，并发表了他的效果。弗雷格的第二卷诚然也发表了，但照旧是在10年之后，而第三卷一直齐没完成。
伯特兰・阿瑟・威廉・罗素
在《数学旨趣》的前言中，罗素承认：“弗雷格老师的效果，大部分齐先于我，当他的现存效果驱动出书时，其中的大部分我齐不懂。我照旧见过他的《算术基础》，然而由于他的符号系统太难，我莫得会聚它的进犯性，也不懂它的内容。在这样晚的时候，对他的效果作念出顺应恢复的独一办法便是给它加上一个附录。”换句话说，罗素觉得弗雷格的道路是正确的，仅仅罗素悖论使弗雷格无法不息使命了，而这个冗忙的任务就留给了罗素。同期，罗素还说：“尽管他作念出了划时间的发现，但在1903年我精致到他之前，他一直完全得不到鉴赏。”
为数学的旨趣创建一个更全面的处理形状是罗素的目标，他驱动更顽强地信托：纯正数学能够确立在一小部分基本的逻辑办法上，它的命题也能从为数未几的基本逻辑旨趣推异出来。但对初稿，罗素并不兴奋。
1900年，罗素参加巴黎召开的国际玄学大会。他其后写说念：“此次会议是我常识生命的一个转换点，因为在这里我遇到了皮亚诺……在大会的筹商中，我发现他一直齐比其他任何东说念主更精准，在他参与的辩论中，他老是能告捷。过了一段时期，我明白这应该是由于他精明数理逻辑。因此，我让他把他统共的研究效果齐送给我。大会一终了，我就归隐到芬赫斯特，闲隙地琢磨他和他的弟子写的每一个字。对我来说，很昭彰他的符号为逻辑分析提供了一个器具，这恰是我寻求多年的。”
罗素很快就会聚了皮亚诺的想法和内涵丰富的符号系统，并驱动在此基础上重写他的书。
逻辑主义的面世
1903年面世的《数学旨趣》第一卷受到了接待，提议了许多赞助逻辑与数学间有密切关联的不雅点。第二卷将写入这些不雅点所需要的证明，但它一直莫得完成。终结是它演变成了洋洋洒洒的三卷本《数学旨趣》。而且这套书，是分阶段在与好友兼共事阿尔弗雷德・诺斯・怀特海相助下完成的。
其后，罗素发出一个挑战：“如果还有东说念主不承认逻辑和数学的一致性，咱们不错挑战他们，让他们指出，在《数学旨趣》严实的界说和推导经由中，哪个地方莫得逻辑而只消数学？！”
伯特兰・阿瑟・威廉・罗素
在写稿《数学旨趣》的同期，罗素并未罢手治理悖论问题。他驱动怀疑这些悖论组成了某种恶性轮回，并寻求逃匿这个悖论的形状。驱动，曾尝试用一种称作类型论的形状，该形状的基本不雅点是诀别个体、个体的鸿沟的鸿沟，以此类推。每一档次成为一个类型。他把这写在《数学旨趣》的附录里。至此，这个被公共纷纷议论了许多年的不雅念，第一次出目下了书面上。关联词尽管它能治理罗素悖论，却不可解释康托尔的。
1905年，罗素尝试使用新想法，摸索出三个不同的形状：迂曲论，在磋商界阐明晰的类时，对命题函数的复杂进程加以律例；限量论，制定例则以防患某些类过大而引起矛盾；非类论，提议完全破除类。这三个形状齐成为其后研究的对象。罗素在名为《对于超穷数和超穷序型表面中的一些勤快》的论文中提议这些形状。1905年12月14日，在伦敦数学学会上宣读了这篇论文，并发表在《伦敦数学学会会报》上。论文中，罗素这样开首：“在某些逻辑推理的想考形状匡助下，咱们不错信托三个表面中的每一个齐是合理的。”
庞加莱
朱尔斯・亨利・庞加莱于1854年4月29日生于法国的南希。在专科化迅猛发展的时间，他是历历的，涉猎平时的数学科学家之一：辞世纪之交，他照旧在包括数论、拓扑学、概率论和数学物理学等诸多限度有所成就；还写了一套对于天膂力学的三卷本著述；在狭义相对论方面也作念出了首创性的使命。
庞加莱在使命形状上有某些特别之处：他特殊的使命时期，从上昼10点到中午，从下昼5点到7点。在晚上，他读期刊。阅读面平时，但不利用别东说念主的效果来开展我方的研究想路。在我方的研究使命中，庞加莱径直从最基本的地方开始来得出不雅点。到和罗素发生争论时，庞加莱得回了统共能够得回的奖章和奖金，还被选为最权臣的科学和数学组织的成员。1887年，年仅32岁就被选为法国科学院的成员，他驱动为更多读者写东西。非技能类竹帛和文章总额接近100本（篇），险些齐是在入选科学院后所写。
在国内国际的声誉日隆的庞加莱经常被邀请为众人就数学和科学发饰演讲或撰写文章。作为一位对抗时的数学家和科学家，他有着格外平时的酷好、博览群书况且齐能掌持，而且还驱动更多地谅解天然和数学玄学的基本问题。
朱尔斯・亨利・庞加莱
与克罗内克和他同期代的其他东说念主一样，对于在其时生根的新数学不雅念，庞加莱有一些相配明确的想法，举例：莫得必要去给整数下界说或者将它们的性质公理化；如果不可用有限的语句给一个对象作出明晰而完整的界说，咱们就不可引入它；蚁合论是一个病例，并展望：“后东说念主会觉得蚁合论是一场咱们设法痊可的病。”
庞加莱觉得一些数学不雅点比逻辑更基础，不可用逻辑术语来表述。1904年，他写说念：“期骗逻辑，咱们证明；利用直观，咱们创造。”其后他声明：“因此，如果莫得直观的浇灌，逻辑如故荒废一派。”
基于庞加莱所笃信的数学理念，不难领路他更倾向于研究应用数学。他说：“教化是统共真谛的独一来源。”诚然这最终导致他去深刻想考科学常识的基础，但对具体有形事物的倾向如故树大根深。因此，与视无尽为一个实在且可演算的办法的康托尔形成对比，庞加莱反对无尽集的主张。他主张：“实无尽是不存在的。不论若劳动物照旧存在，咱们称为无尽的东西只具有创造新事物的无限可能性。”莫里斯・克莱因写说念：庞加莱“相配懊恼严重依赖符号逻辑的形状，在他的《科学与形状》中，他致使对这种行动作了朝笑。布拉利・福蒂在1897年的一篇文章中针对整数期骗了一个这样的形状，东说念主们会发现文顶用了令东说念主晕眩的符号来界说1这个数，谈到这时，易游官方网站APP下载庞加莱说，对于畴前从来莫得听说过1这个数的东说念主来说，这是一个极好的界说，很合适让东说念主们了解它。”
朱尔斯・亨利・庞加莱
在另一篇庞加莱的早期文章中，有一个更偏激的声明：“逻辑就怕候制造怪物。半个世纪（以来)，咱们照旧看到，一些潦草的方程出现了，它们看起来极力要跟有些本色用途的方程尽可能地不像……畴前，发明一个新的方程是为了一些本色的目标；目下，它们发明出来，便是为了给咱们前辈的推导找茬，除此之外，咱们永远也不会从中得到什么。”
因此，庞加莱注定会成为倚重蚁合论的逻辑主义的主要反对者。在法国有一段时期，罗素的逻辑主义主要反对者是法国数学家路易斯・库蒂拉特，他在1904年和1906年发表了一些文章。罗素的文章发表在1906年的《伦敦数学学会会报》上。庞加莱找到了我方的靶子，该扣动扳机开火了。
庞加莱的攻势
庞加莱决定对罗素的逻辑主义发起一个全面的批判。为了使玄学和多样科学能互相领路，法国期刊《玄学与伦理学杂志》于1893年驱动出书。庞加莱成为该杂志的主要投稿东说念主之一。在罗素的论文发表两个月后，庞加莱以《数学与逻辑》为题在《玄学与伦理学杂志》上刊发了反对文章。强横的争论就此拉开序幕。
小九体育在线直播官网庞加莱从回溯康托尔驱动他的批判：“很大齐学家跟班（康托尔的）指引……在他们的眼中，为了用简直逻辑的形状教算术，咱们应该从笃定超穷基数的一般性质开始，然后从它们中间诀别出一个相配小的类，即普通整数的类。由于这条便说念，咱们会在证明统共与这个小类相关的命题上取得得胜，而无需期骗任何与逻辑不相关的旨趣。”关联词庞加莱主张：“这种形状赫然与任何健全的热诚相背；天然，东说念主的才气也不是用这种形状在构建数学中取得进展的。因此我想，它的作家该不会理猜想在中学素质中引入这种形状吧。它合适逻辑吗？或者这样说更好，它是对的吗？这让我狐疑……”他接着说：“倒霉的是，他们得出了称之为康托尔悖论的矛盾终结……这些矛盾莫得让他们衰颓，他们努力去修正他们的章程，以便让那些照旧不言自明的矛盾隐藏。尽管如斯，他们如故不可笃定，新出现的矛盾是否亦然不言自明的。该是对这些虚假学问进行审判的时候了。我不奢想让他们明白，因为他们照旧在这种氛围中呆得太久。另外，当他们的一个例证被驳倒后，咱们确信会看到它以一种无说念理的变化神色回生了，它们中的一些照旧从它们的骨灰中回生过好屡次了。”然后，他说：“这样，不错被领路为，阐明一个定理，知说念它是什么说念理既莫得必要，也莫得什么上风可言。几何学家也许会被‘逻辑钢琴’所替代……或者如果你怡悦，不错遐想一台机器，一端输入假设，另一端就会输出定理，就像外传中的芝加哥机器一样，扔进活猪，出来的齐变成火腿和腊肠。除了这些机器，对于他们所要作念的，数学家们不需要知说念更多。因此，从假设推导到定理的逻辑正确性不应该是独一让咱们参加的事。完好逻辑的章程是数学的全部吗？这就好比说，棋战的全部精巧之处就在于迁移棋子的章程。在统共能由逻辑提供的材料确立的构造中，咱们必须作念出选拔。简直的几何学家会忠良地作出这种选拔，因为有可靠的直观或腌臜的意志在指引着他。我知说念，这种腌臜的意志不会是更难懂和更掩蔽的几何，只凭它就不错赋予这栋在建造的大厦以价值。”
还有庞加莱对于罗素尝试治理“悖论”的朝笑：“依据迂曲论，当‘界说（命题函数）很约略时，它们决定一个类；当它们复杂和含混时，它们不可决定一个类。’目下，谁来决定一个界说是否不错被觉得约略到能被收受？如果分歧完全窝囊为力作念一个针织的直露的话，这个问题就莫得谜底。‘那些让咱们瓦解到这些界说是否正确的章程将会极其复杂，不可用任何合理的原因来解释它们。’……除了排斥悖论除外，我还没能找到任何其他的率领性原则。”庞加莱这样终了这一个不雅点：“因此，这个表面仍然很含混；于是，阴阴暗出现了一线朝阳逐个‘迂曲’。罗素称之为‘迂曲’的这个词毫无疑问便是使艾皮米尼地斯抵赖显得不落俗套的特别之处。”庞加莱指的是艾皮米尼地斯的话“我在说谎”。这句话引出了一个悖论。
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对于限量论，庞加莱争辩白：“如果一个类鸿沟太广，它将莫得事理存不才去。也许它不错是无限的，但它不应该大得过分了。但咱们经常反复遇到一样的难题：在哪一个点上，它才驱动变得过大？天然了，这个难题还莫得治理，但罗素就接着去筹商第三个表面了。”
接着，庞加莱锋芒转向罗素的非类论。锋芒指向罗素在《会报》上发表的论文的收尾的一个附录：“通过进一步的研究，我目下嗅觉到，对于这篇论文第一部分中叙述到的统共难题，非类论齐能提供一个完整的治理办法，这险些是莫得什么疑问的。”庞加莱不是很赞好意思这种说法，责备说：“在非类论中，不允许说‘类’这个词，这个词必须用多样委婉的说法来代替。对于只谈类和类的逻辑来说，这是何等大的一个改动啊！重组统共逻辑变得很有必要。遐想一下，在议论一个类问题的地方，整页的逻辑会让统共的命题看起来若何地压抑啊？在一页乏味的论说之中，将会只消衰败的命题幸存下来。”
庞加莱的其他责备：“在多产的问题上，看起来库蒂拉特先生有些生动的幻想。照他的说法，逻辑给了创造以‘赞助和翅膀’。接着，不才一页中有‘10年前，皮亚诺就出书了他的《汇编》’。有翅膀10年了，还莫得飞起来，何如会这样呢？我对皮亚诺致以最高的敬意，他分娩了许多精品。但终归是，他还莫得比大部分莫得翅膀的数学家走得更远、更高、更快，也许他用他的双腿行走会更好。各异，在逻辑中，我只看到了拘谨创造的桎梏。它对简明莫得匡助逐个而且差得很远。如果在阐明1是一个数时需要27个函数，那么，要证明一个实定理的时候得需要若干个函数呢？”
罗素的反击
为确保庞加莱明白我方的不雅点，罗素在庞加莱家乡的《玄学与伦理学杂志》上作念出恢复。在1906年9月这一期上，这样开首：“我信托，庞加莱先生发表在这份期刊上的文章《数学与逻辑》诬告了我对于逻辑的性质和目标……同期，它还提议了困扰超穷蚁合论悖论的一个治理办法。庞加莱先生主张，这些悖论齐发源于某种恶性轮回，在这一丝上，我答应他的说法。但他没特地志到幸免这种恶性轮回的难度。我应该努力阐明，如果要躲闪它，像我的‘非类论’之类的东西似乎是必需的。简直，恰是为了这个目标，我发明了这个表面。”
接下来是约莫20页的解释，天然少不了对庞加莱的责备的回复。一个特别说念理的例子是他对庞加莱看不起皮亚诺的回复。罗素恢复说：“对于庞加先生对皮亚诺先生的评价，我必须满怀谦虚地果敢提议与他不同的一丝意见。目下，我要向庞加莱先生标明，这仅仅阐明皮亚诺先生的使命莫得引起他的酷好的一种表述形状。皮亚诺先生照旧铸造出一个对某些研究来说具有巨松手量的器具。咱们中的一些东说念主对这些研究感酷好，从而对皮亚诺先生充满敬意。咱们觉得，他正如咱们中的这些东说念主所崇拜的那样，比那些残暴他的‘无翅膀’的数学家走得远和快得多。”
伯特兰・阿瑟・威廉・罗素
罗素恢复庞加莱对非类论的评价：“如果庞加莱先生能够放弃对逻辑与数学任何其他门类划一然各异的信念，他也会意志到：在倡议不把类行为孤苦的实体上，我不是在倡议作念出一个改动，以使它对于‘重组统共逻辑’将是必须的；我也不但愿不容东说念主们‘说“类”这个词’，就像哥白尼但愿不容东说念主们说日出一样。”
罗素觉得，庞加莱的问题是他不了解我方在作念什么：“也许，一个类比会让公共明白，这个改动根柢就不是那么大。目下广为收受的无尽小量微积分学，既不期骗无尽小，也不以它为前提。然而这在多大的进程上改动了无尽小量微积分的面貌？险些莫得。某些证明被重写，某些困扰18世纪数学家的悖论照旧治理了；不然微积分的章程会险些莫得改动。”罗素纪念说念：“庞加莱先生告诉咱们，‘逻辑中更明晰的不雅念’不是咱们需要的，但他莫得向咱们揭示他作念出这个进犯发现的经由，对我来说，我只可想，他对幸免恶性轮回的尝试阐明了那些看不起逻辑的东说念主的气运。”
争端在不息
在又一次的反击中，庞加莱写说念：“不存在……实无尽。康托尔主义者照旧忘了这个，况且他们已堕入矛盾中。简直，康托尔主义有用，但这是在期骗到一个术语被精准界说的本色问题时……像康托尔主义者一样，逻辑主义者也会忘了它，并遇到一样的逆境。”其后他又说：“罗素察觉到了这种危机，并听取了劝告。他想改动一切，而且很容易领路的是，他不光在准备引进新的旨趣，这些旨趣的应用在畴前是不容的；他还在准备不容一些他畴前觉得合理的应用。他已排除的他又重拾起来，他嗜好过的他又蓄意排除，而这种倾向更严重。他不给大厦加上一个新翼，反而掏空它的根基。”
罗素在一篇题目为《以类型论为基础的数理逻辑》的新论文中作念出了恢复，发表在1908年的《好意思国数学杂志》上。在文中，提议了一个新的类型论。1909年，庞加莱在《玄学与伦理学杂志》上发表名为《无尽的逻辑》的文章作念出恢复：他给出了治理困扰逻辑悖论的形状，过后标明这是他在这上头终末的建议：只磋商能用有限语句界说的对象；永远不要忘了，每一个对于无尽的命题确信是一个对于有限的、转换了的、有所改削的述说；幸免不确信的界说和分类。
对于有限与无尽的区别，庞加莱在他1909年的文章中说：“罗素先生将会毫无疑问地告诉我，它们莫得热诚学上的诀别，只消逻辑和瓦解论上的诀别。我不得不被动作念出恢复：莫得孤苦于热诚学的逻辑和瓦解论。这段信念的表白或者会终了这场筹商，既然它将展示咱们不雅点上无法调治的分歧。”
伯特兰・阿瑟・威廉・罗素
关联词罗素并不会相安无事。1910年5月，他再次在《玄学与伦理学杂志》上发表名为《逻辑类型的表面》。此时《数学旨趣》第一卷行将面世，在其弁言中，与这篇最新的文章一样，提议了他在逻辑论上最新的想法。
在文章中，他再次筹商起几个主题，包括对“要幸免的悖论齐发源于某种恶性轮回”的赞同；还加上了一些对于类的最新的泰斗性研究；对他早期的研究作念了拓展。在这篇文章的背面，再次解释了他的类型论。在更背面他写说念：“庞加莱先生的文章《无尽的逻辑》中有一丝需要作念点解释。他断言：‘除非咱们假设序数论照旧成立，不然类型论依然是不可领路的’。这个断言对于我来说，似乎存在着某种芜杂。”
这种唇枪舌剑的疏通还会不息下去吗？也许会，但气运不允许。不久后，庞加莱因前哨腺疾病，在手术后出现了并发症，于1912年7月12日牺牲了。
失意的罗素
庞加莱的反对，对罗素终点在逻辑主义上的不雅点有什么影响？1938年，在他1903年的《数学旨趣》的重版中，不错找到一个画面。罗素决定“这本书目下所具有的酷好是历史上的，它存在于这样一个事实中：它代表了在它这个科目发展中的某个阶段。因此，我莫得改动任何东西，但在这篇前言中，我应该勤奋阐明白：在哪些方面，我对持它抒发的不雅点；在另外哪些方面，对于我来说，后续的研究似乎标明它们是错的。”
一言以蔽之，他告诉东说念主们：“下文对于数学和逻辑是归并的基本论题，我从来莫得看到有任何事理要去修改它。”关联词似乎有些一直让东说念主困惑的东西，包括逻辑自己的界说，“因此，界说逻辑或数学决不约略，除非期骗一些给定的前提”。
伯特兰・阿瑟・威廉・罗素
他也提到了庞加莱。即使在1938年，罗素仍然执着于疗救因庞加莱著名的议论所变成的伤痛：“我如故回到悖论的问题和类型表面。亨利・庞加莱觉得数理逻辑对发现莫得匡助，因而钻研它是销耗工夫，况且他还对悖论的出现感到欢娱，关联词，畴前被统共逻辑学家收受的前提会引出悖论，数理逻辑所要作念的便是让这些悖论变得昭彰，不管数学有何等无辜。这些悖论不一定齐是新近出现的，有一些不错回溯到古希腊时间。”
但罗素不至于蠢到觉得这些年逻辑主义表面一丝变化齐莫得。他在前言承认：“在数理逻辑中，如故有许多有争议的问题，它们……我不蓄意去治理它们。我只一次提到过对于这些悖论的问题，但在我看来，自从我写《数学旨趣》以来，照旧有了相配明确的开端……对我来说，在这中间的34年，咱们所需要的玄学上的变化似乎部分归功于数理逻辑在技能上的开端。”
正如克莱因指出的：“尽管在《数学旨趣》的第一卷中，罗素和怀特海绝不瞻念望地引进无尽公理和选拔公理，但他们在其后如实放手了这种作念法。他们不仅承认逻辑的基本定律不是全齐的真谛，而且承认这两个公理不是逻辑的公理。在《数学旨趣》的第二版中，这两个公理莫得出目下书开首的列表中，在需要它们证明某些定理时，对它们的应用也作了特别阐明。”
事实上，在罗素1938年《数学旨趣》的前言中，他照旧莫得了早年的乐不雅易游官方网站APP下载，不再对我方的不雅点抱有终极得胜的自信了。这要部分地归因于1931年哥德尔对一致性与完备性不相容的证明。这若干预当年的弗雷格有点相似。